Né en Angleterre (à Shrewsbury), il défendait les couleurs de l'Ecosse en tant que golfeur. Son vrai prénom est Alexander Walter Barr.

Il a été l'un des meilleurs joueurs mondiaux dans les années 1980 (167 semaines dans le top-10 mondial entre 1986 et 1989). Vainqueur du British Open en 1985 disputé au Royal St. George's  (premier vainqueur britannique depuis Tony Jacklin en 1969) et du Masters en 1988 (premier Britannique à endosser la fameuse veste verte; 42 participations incluant l'édition 2023).

Dix-huit victoires sur le circuit européen dont l'Open de France en 1981, l'Open d'Italie en 1984 et 1992 et le Trophée Lancôme en 1984. Six fois vainqueur d'un tournoi dans le tour américain dont l'important tournoi du Players en 1987 et l'Open de Phoenix en 1988. Vainqueur de la RYDER CUP en 1985 et 1987 (5 participations). Élu trois fois meilleur joueur de l'Ordre du mérite européen (1979, 1980 et 1985; rookie de l'année sur le tour européen en 1978). Champion d'Angleterre chez les amateurs en 1975 (garçons) et 1977 (jeunes).

Il a été admis au World Golf Hall of Fame en 2012.